Analiza sparowanych danych ilościowych – test t czy test Wilcoxona?

Jak porównać dwa pomiary wykonane u tych samych pacjentów i kiedy zastosować test t dla prób zależnych, a kiedy test Wilcoxona?

Analiza sparowanych danych ilościowych powinna koncentrować się na indywidualnych różnicach między pomiarami, a wybór metody zależy m.in. od ich rozkładu, liczebności próby i obecności wartości odstających.

Wyjaśniamy, jak przeprowadzić taką analizę, uniknąć najczęstszych błędów i właściwie przedstawić wyniki w publikacji.

Wyniki przed leczeniem i po leczeniu u tych samych pacjentów nie stanowią dwóch niezależnych grup. Każdy wynik początkowy jest powiązany z konkretnym wynikiem końcowym, dlatego analiza powinna uwzględniać tę zależność. W analizie sparowanych danych ilościowych oceniamy przede wszystkim różnice wewnątrz par, a nie dwa zbiory wyników analizowane oddzielnie.

Wybór między testem t dla prób zależnych a testem Wilcoxona nie powinien opierać się wyłącznie na wyniku testu Shapiro-Wilka. Należy uwzględnić skalę pomiaru, rozkład różnic, wartości odstające, liczebność próby oraz pytanie badawcze. Równie ważne jest przedstawienie wielkości i precyzji zaobserwowanej zmiany, a nie tylko wartości p.

Czym są sparowane dane ilościowe?

Dane sparowane powstają wtedy, gdy każdej obserwacji można przypisać konkretną, powiązaną z nią obserwację. Najczęściej są to dwa pomiary wykonane u tej samej osoby, na przykład przed interwencją i po jej zakończeniu.

Sparowane dane ilościowe otrzymamy między innymi wtedy, gdy analizujemy:

• stężenie glukozy przed rozpoczęciem leczenia i po jego zakończeniu,
• ciśnienie tętnicze podczas wizyty początkowej i kontrolnej,
• masę ciała przed interwencją dietetyczną i po niej,
• natężenie bólu mierzone skalą liczbową przed zabiegiem i po zabiegu,
• wyniki dwóch różnych metod pomiarowych zastosowanych u tych samych pacjentów,
• wartość parametru w prawym i lewym oku tej samej osoby.

W badaniu obejmującym 60 pacjentów, z których każdy został oceniony dwukrotnie, uzyskujemy 120 wyników, ale tylko 60 niezależnych par. Obserwacje pochodzące od tego samego pacjenta są zwykle do siebie bardziej podobne niż wyniki dwóch przypadkowo wybranych osób. Analiza statystyczna powinna wykorzystać tę informację.

Szczegółowe rozróżnienie danych sparowanych i niezależnych zostało przedstawione w poprzednim artykule. Tutaj koncentrujemy się już na właściwej analizie dwóch powiązanych pomiarów zmiennej ilościowej.

W analizie sparowanej najważniejsza jest zmiana wewnątrz pary

Załóżmy, że mierzymy skurczowe ciśnienie tętnicze przed rozpoczęciem leczenia i po 12 tygodniach terapii. Dla każdego pacjenta możemy obliczyć indywidualną różnicę: wynik po leczeniu minus wynik przed leczeniem. Jeśli ciśnienie zmniejszyło się ze 145 do 135 mmHg, różnica wynosi −10 mmHg. Jeżeli u innego pacjenta wzrosło ze 130 do 134 mmHg, różnica wynosi +4 mmHg.

Test dla prób zależnych nie porównuje dwóch średnich lub dwóch rozkładów tak, jakby pochodziły od innych osób. Analizuje zbiór indywidualnych różnic. Dzięki temu uwzględnia fakt, że każdy pacjent jest dla siebie punktem odniesienia.

Ma to duże znaczenie w badaniach medycznych. Pacjenci mogą różnić się wiekiem, predyspozycjami biologicznymi, nasileniem choroby i wartościami początkowymi. W analizie sparowanej część tej zmienności międzyosobniczej zostaje wyeliminowana, ponieważ interesuje nas zmiana zachodząca w obrębie tej samej osoby.

Co należy sprawdzić przed wyborem testu?

Przed rozpoczęciem analizy sparowanych danych ilościowych należy ustalić:

1. Czy rzeczywiście można wskazać konkretne pary obserwacji?
2. Czy analizowana zmienna jest ilościowa?
3. Czy dla każdego pacjenta dostępne są oba pomiary?
4. Jak wygląda rozkład różnic pomiędzy pomiarami?
5. Czy w różnicach występują wartości odstające?
6. Czy analizujemy dwa pomiary, czy większą liczbę punktów czasowych?

Wybór testu nie powinien rozpoczynać się od sprawdzenia normalności. Najpierw trzeba potwierdzić strukturę danych i określić, jaki efekt chcemy oszacować. Dopiero później oceniamy, czy założenia konkretnej metody są wystarczająco dobrze spełnione.

Test t dla prób zależnych – na jakie pytanie odpowiada?

Test t dla prób zależnych, nazywany także sparowanym testem t czy testem t dla pomiarów zależnych, służy do oceny, czy średnia różnica pomiędzy dwoma powiązanymi pomiarami jest różna od zera.

Test t dla prób zależnych jest właściwy, gdy:

• analizujemy dwie powiązane obserwacje zmiennej ilościowej,
• poszczególne pary są od siebie niezależne,
• różnice mają rozkład w przybliżeniu normalny albo próba jest wystarczająco duża, a rozkład nie zawiera poważnych odchyleń i skrajnych wartości odstających,
• przedmiotem zainteresowania jest średnia zmiana.

Wynikiem ważniejszym klinicznie od samej wartości p jest średnia różnica wraz z 95-procentowym przedziałem ufności. Przedział pokazuje zarówno kierunek i możliwą wielkość efektu, jak i precyzję oszacowania.

Normalność dotyczy różnic między pomiarami, a nie oddzielnych pomiarów

Jednym z najczęstszych błędów jest oddzielne sprawdzanie normalności wyników przed leczeniem i po leczeniu. Nie jest to właściwe podejście, ponieważ test t dla prób zależnych opiera się na indywidualnych różnicach.

Ocenie podlega rozkład wartości zmiennej „po minus przed”, a nie osobno rozkład pomiaru początkowego i końcowego.

Możliwa jest sytuacja, w której oba pomiary mają rozkłady skośne, ale ich różnice są w przybliżeniu symetryczne i zbliżone do normalnych. Możliwa jest również sytuacja odwrotna: oba pomiary wyglądają na normalne, natomiast rozkład różnic zawiera silną skośność lub pojedynczą skrajną wartość.

Analizie normalności rozkładu poświęciłam osobny artykuł, więc tutaj wspomnę tylko skrótowo: rozkład różnic warto oceniać łącznie na podstawie:

• histogramu,
• wykresu Q–Q,
• wartości skośności i kurtozy,
• testu Shapiro-Wilka,
• identyfikacji obserwacji odstających,
• liczebności analizowanej próby.

Test Shapiro-Wilka nie powinien być jedynym kryterium. Przy małej próbie może nie wykryć istotnego odstępstwa od normalności, natomiast przy dużej liczebności może wskazywać statystycznie istotne, ale praktycznie niewielkie odchylenie. Istotny wynik testu normalności nie oznacza automatycznie konieczności rezygnacji z testu t.

W większych próbach test t jest zazwyczaj stosunkowo odporny na umiarkowane odchylenia od normalności. Problemem mogą jednak pozostać silna asymetria, ciężkie ogony rozkładu i obserwacje odstające, szczególnie przy niewielkiej liczbie par.

Dlaczego wartości odstające są szczególnie ważne?

Test t wykorzystuje średnią i odchylenie standardowe różnic. Obie miary są wrażliwe na wartości odstające. Pojedynczy pacjent z bardzo dużą zmianą może wyraźnie wpłynąć na średni efekt, przedział ufności oraz wartość p.

Wartość odstająca nie powinna być jednak usuwana wyłącznie dlatego, że utrudnia uzyskanie istotnego wyniku. Należy najpierw sprawdzić, czy:

• nie doszło do błędu podczas wpisywania lub kodowania danych,
• pomiar został wykonany w prawidłowy sposób,
• wystąpiło kliniczne zdarzenie wyjaśniające nietypowy wynik,
• obserwacja spełniała wcześniej określone kryteria włączenia do analizy.

Jeżeli wynik jest prawidłowy i należy do badanej populacji, zwykle powinien pozostać w analizie. Można natomiast przeprowadzić analizę wrażliwości, porównując wyniki uzyskane z uwzględnieniem i bez uwzględnienia obserwacji odstającej. Takie postępowanie wymaga przejrzystego opisania.

Test Wilcoxona dla par – jak działa?

Test rangowanych znaków Wilcoxona (test Wilcoxona dla par) jest nieparametryczną metodą przeznaczoną do analizy dwóch powiązanych pomiarów. Podobnie jak test t rozpoczyna się od obliczenia różnic wewnątrz par. Następnie wykorzystuje ich kierunek oraz rangi wartości bezwzględnych.

W uproszczeniu procedura uwzględnia więc dwie informacje:

• czy wynik u danego pacjenta wzrósł, czy zmalał,
• jak duża była ta zmiana w porównaniu ze zmianami u pozostałych pacjentów.

Test Wilcoxona nie wymaga normalności różnic, ale nie oznacza to, że jest pozbawiony założeń. Dla standardowej interpretacji jako testu przesunięcia rozkład różnic powinien być w przybliżeniu symetryczny. Jeśli rozkład różnic jest silnie asymetryczny, hipoteza sprawdzana przez test staje się mniej intuicyjna.

Test Wilcoxona może być zasadny, gdy:

• rozkład różnic wyraźnie odbiega od normalnego,
• występują wartości odstające silnie wpływające na średnią,
• liczebność próby jest mała, a przyjęcie normalności różnic byłoby trudne do obrony,
• dane pozwalają wiarygodnie uporządkować wielkości zmian, ale analiza średniej różnicy nie jest najlepszym opisem efektu.

Decyzja nie powinna jednak sprowadzać się do reguły: „Shapiro-Wilk istotny, więc wybieramy Wilcoxona”. Należy uwzględnić kształt rozkładu, liczebność próby, wartości odstające oraz to, czy interesuje nas średnia zmiana.

Test Wilcoxona nie jest po prostu testem median

W publikacjach często można spotkać stwierdzenie, że test t porównuje średnie, a test Wilcoxona porównuje mediany. Jest to nadmierne uproszczenie.

Test rangowanych znaków Wilcoxona wykorzystuje rangi dodatnich i ujemnych różnic. Przy odpowiednich założeniach, w szczególności symetrii rozkładu różnic, może być interpretowany jako test dotyczący centralnego przesunięcia rozkładu. Nie jest jednak ogólnym testem równości dwóch median.

Co więcej, mediana wyników przed leczeniem i mediana wyników po leczeniu nie informują bezpośrednio o medianie zmian wewnątrzosobniczych. Są to różne wielkości. Może się zdarzyć, że obie mediany są takie same, mimo że u znacznej części pacjentów wystąpiły indywidualne zmiany.

Jeżeli celem jest oszacowanie typowej zmiany, można przedstawić medianę różnic. Trzeba jednak pamiętać, że wartość p z testu Wilcoxona nie zawsze jest prostym testem hipotezy, że ta mediana wynosi zero.

Test t dla par czy test Wilcoxona?

Kryterium	Test t dla prób zależnych	Test Wilcoxona dla par
Rodzaj porównania	Dwa powiązane pomiary	Dwa powiązane pomiary
Podstawa obliczeń	Wartości różnic	Rangi i kierunki różnic
Główny efekt	Średnia różnica	Przesunięcie rozkładu różnic
Normalność różnic	Zakładana, szczególnie istotna w małych próbach	Niewymagana
Symetria różnic	Nie jest odrębnym formalnym założeniem	Ważna dla standardowej interpretacji testu
Wrażliwość na obserwacje odstające	Większa	Zwykle mniejsza
Preferowany sposób raportowania	Średnia różnica i 95% CI	Opis różnic oraz estymator efektu z CI, jeśli został wyznaczony

Jeżeli rozkład różnic jest w przybliżeniu symetryczny, nie zawiera skrajnych obserwacji, a średnia zmiana ma sens kliniczny, test t jest zazwyczaj dobrym wyborem. Jeśli różnice są wyraźnie nienormalne lub zawierają wpływowe wartości odstające, można rozważyć test Wilcoxona.

Metoda nieparametryczna nie jest automatycznie metodą „bezpieczniejszą”. Odpowiada na nieco inne pytanie i może utrudniać przedstawienie efektu w jednostkach klinicznych. Dlatego wybór powinien wynikać z celu analizy, a nie z obawy przed każdym odstępstwem od idealnej normalności.

Co zrobić przy silnie asymetrycznych różnicach?

Silna asymetria różnic może być problemem zarówno dla testu t w małej próbie, jak i dla standardowej interpretacji testu Wilcoxona. Możliwe rozwiązania zależą od charakteru danych i pytania badawczego.

Można rozważyć transformację wyników, np. transformację logarytmiczną dla dodatnich zmiennych o charakterze ilorazowym. Analiza różnic logarytmów odpowiada wówczas analizie względnej lub ilorazowej zmiany, a nie różnicy bezwzględnej. Taka interpretacja może być właściwa dla stężeń laboratoryjnych, ale nie dla każdej zmiennej klinicznej.

Inną możliwością jest test znaków, który opiera się wyłącznie na kierunku zmian i nie wymaga symetrii różnic. Ceną za słabsze założenia jest jednak zazwyczaj mniejsza moc, ponieważ metoda pomija wielkość obserwowanych zmian.

Przy bardziej złożonych danych można zastosować metody odporne, bootstrapowe albo odpowiednio zdefiniowane modele statystyczne. Nie należy wybierać metody wyłącznie na podstawie jej etykiety „parametryczna” lub „nieparametryczna”.

Brakujące dane i niekompletne pary

Prosty test dla danych sparowanych wymaga, aby dla każdej analizowanej osoby dostępne były oba wyniki. Jeżeli pacjent ma pomiar początkowy, ale brakuje pomiaru końcowego, nie można obliczyć jego indywidualnej zmiany.

Jeśli do badania włączono 100 pacjentów, ale tylko 82 osoby mają oba pomiary, prosty test sparowany zostanie wykonany na 82 kompletnych parach. W publikacji należy wyraźnie odróżnić:

• liczbę osób włączonych do badania,
• liczbę osób, u których wykonano każdy pomiar,
• liczbę kompletnych par uwzględnionych w analizie.

Utrata niekompletnych par nie jest wyłącznie problemem liczebności. Jeżeli brak pomiaru końcowego wiąże się ze stanem pacjenta, działaniami niepożądanymi lub brakiem skuteczności leczenia, analiza wyłącznie kompletnych przypadków może dawać obciążone wyniki.

Nie należy uzupełniać brakującego wyniku średnią ani kopiować pomiaru początkowego jako końcowego. Sposób postępowania z brakami powinien zależeć od ich mechanizmu, projektu badania i przyjętej strategii analitycznej.

Jak przedstawić sparowane dane ilościowe na wykresie?

Oddzielne wykresy pudełkowe dla pomiaru przed leczeniem i po leczeniu pokazują rozkłady wyników, ale ukrywają najważniejszą cechę badania – powiązanie obserwacji w obrębie pacjenta.

W analizie sparowanej warto rozważyć:

• wykres punktowy z połączeniem dwóch wyników każdego pacjenta,
• wykres indywidualnych zmian,
• histogram lub wykres Q–Q plot różnic,
• wykres przedstawiający różnice wraz z ich rozkładem,
• wykres średniej zmiany i 95-procentowego przedziału ufności.

Wykres połączonych punktów pozwala zobaczyć, czy większość pacjentów zmienia się w tym samym kierunku, czy średni efekt wynika przede wszystkim z kilku dużych zmian. Jest to informacja, której nie zobaczymy na dwóch oddzielnych wykresach prezentujących jedynie wartości zbiorcze.

Wartość p nie mówi, jak duża była zmiana

Statystycznie istotny wynik oznacza, że dane są mało zgodne z hipotezą zerową przy przyjętym modelu i założeniach. Nie informuje jednak, czy zaobserwowana zmiana ma znaczenie kliniczne.

W dużej próbie niewielka różnica może być statystycznie istotna, mimo że nie ma praktycznego znaczenia. W małej próbie klinicznie ważna zmiana może nie osiągnąć istotności statystycznej z powodu małej precyzji oszacowania.

Dlatego wynik analizy powinien obejmować:

• liczebność kompletnych par,
• wartości opisowe dla obu pomiarów,
• wielkość i kierunek zmiany,
• przedział ufności,
• wartość p,
• odniesienie do znaczenia klinicznego.

Jeżeli dla danego parametru określono minimalną istotną klinicznie różnicę, warto porównać z nią oszacowany efekt i jego przedział ufności.

Czy korelacja może zastąpić analizę zmiany?

Nie. Korelacja pomiędzy wynikiem początkowym i końcowym informuje, czy pacjenci z wyższymi wartościami w pierwszym pomiarze mają tendencję do uzyskiwania wyższych wartości również w drugim. Nie odpowiada na pytanie, czy wynik po leczeniu systematycznie wzrósł lub zmalał.

Możemy uzyskać bardzo wysoką korelację nawet wtedy, gdy u każdego pacjenta wynik zmniejszył się dokładnie o 10 jednostek. Kolejność pacjentów pozostanie prawie niezmieniona, więc korelacja będzie wysoka, mimo wyraźnej i jednakowej zmiany.

Korelacja nie powinna również służyć jako jedyna metoda oceny zgodności dwóch metod pomiarowych. Dwie metody mogą być silnie skorelowane, a jednocześnie dawać systematycznie różne wyniki. Ocena zgodności wymaga odrębnych metod, takich jak analiza Blanda–Altmana.

Badanie przed-po w jednej grupie a porównanie dwóch terapii

Test dla prób zależnych może ocenić, czy w jednej grupie nastąpiła zmiana względem wartości początkowej. Nie wystarcza jednak do wykazania, że jedna terapia działa lepiej od drugiej.

Częstym błędem jest wykonanie osobnego testu w każdej grupie, a następnie stwierdzenie, że leczenie A było skuteczne, ponieważ wynik był istotny, natomiast leczenie B nie było skuteczne, ponieważ wartość p przekroczyła 0,05.

Różnica pomiędzy wynikiem istotnym i nieistotnym sama w sobie nie jest istotną różnicą pomiędzy terapiami. Aby porównać skuteczność dwóch metod, należy bezpośrednio porównać grupy, uwzględniając wynik początkowy, np. za pomocą odpowiednio zaplanowanego modelu regresji lub ANCOVA. W zależności od projektu można również porównywać zmiany, chociaż w randomizowanych badaniach z pomiarem początkowym analiza wyniku końcowego skorygowana o wartość wyjściową jest często bardziej efektywna.[5]

Co zrobić, gdy pomiarów jest więcej niż dwa?

Test t dla prób zależnych i test Wilcoxona dla par dotyczą dwóch powiązanych pomiarów. Jeżeli pacjentów oceniano przed leczeniem, po miesiącu, po trzech miesiącach i po sześciu miesiącach, nie należy automatycznie wykonywać serii testów dla wszystkich możliwych par.

Wielokrotne porównania zwiększają ryzyko wyników fałszywie dodatnich i nie wykorzystują właściwie całej struktury danych. W zależności od rozkładu, projektu i charakteru braków danych można rozważyć:

• ANOVA z powtarzanymi pomiarami,
• test Friedmana,
• modele mieszane.

Modele mieszane są szczególnie użyteczne, gdy liczba lub terminy pomiarów różnią się między pacjentami albo występują niekompletne obserwacje. Analiza więcej niż dwóch powtarzanych pomiarów wymaga jednak osobnego omówienia.

Najczęstsze błędy w analizie danych sparowanych

Najczęstsze problemy to:

1. Zastosowanie testu dla dwóch niezależnych grup do wyników przed leczeniem i po leczeniu u tych samych osób.
2. Sprawdzenie normalności oddzielnie dla obu pomiarów zamiast dla różnic.
3. Automatyczny wybór testu Wilcoxona wyłącznie na podstawie istotnego wyniku testu Shapiro-Wilka.
4. Przedstawienie jedynie wartości p bez wielkości zmiany i przedziału ufności.
5. Nieuwzględnienie niekompletnych par i niepodanie rzeczywistej liczebności analizy.
6. Zastąpienie analizy zmiany współczynnikiem korelacji.
7. Wnioskowanie o różnicy między terapiami na podstawie istotności testów wykonanych oddzielnie w każdej grupie.
8. Wykonanie wielu testów dla kolejnych punktów czasowych bez uwzględnienia problemu wielokrotnych porównań.

Jak opisać analizę danych sparowanych w publikacji?

Opis metody powinien wskazywać nie tylko nazwę testu, ale również sposób oceny jego założeń i analizowaną wielkość.

Przykład zapisu dla sparowanego testu t:

Methods:
„Zmianę stężenia analizowanego biomarkera pomiędzy pomiarem początkowym i końcowym oceniono za pomocą testu t dla prób zależnych. Normalność rozkładu różnic oceniono na podstawie wykresu Q–Q, histogramu, wartości skośności i kurtozy oraz testu Shapiro–Wilka.”

Results:
„Stężenie biomarkera zmniejszyło się średnio o MD = 6,20 jednostki (95% CI: 3,10–9,30; p < 0,001).”

Warto z góry określić kierunek różnicy. Jeśli różnicę obliczono jako wartość przed leczeniem minus wartość po leczeniu, dodatni wynik oznacza spadek. Jeśli zastosowano odwrotną kolejność, interpretacja znaku również będzie odwrotna.

Przykład zapisu dla testu Wilcoxona:

Methods:
„Ze względu na wyraźnie asymetryczny rozkład różnic i obecność obserwacji odstających zmianę parametru oceniono za pomocą testu rangowanych znaków Wilcoxona.”

Results:
„Po leczeniu zaobserwowano zmniejszenie wartości parametru; mediana indywidualnej różnicy wyniosła MD = −4 jednostki (IQR: −8 do −1; test Wilcoxona: p = 0,003).”

Praktyczne wnioski dla lekarza

– W analizie sparowanej oceniamy różnice pomiędzy dwoma wynikami tej samej osoby, a nie dwa zbiory pomiarów traktowane jak niezależne grupy;

– Test t dla prób zależnych dotyczy średniej różnicy, natomiast test Wilcoxona wykorzystuje kierunek i rangi różnic oraz nie jest po prostu testem porównującym dwie mediany;

– Normalność należy oceniać dla różnic, korzystając nie tylko z testu Shapiro-Wilka, ale również z wykresów, skośności, kurtozy, liczebności próby i oceny wartości odstających;

– Wynik powinien przedstawiać wielkość zmiany, przedział ufności i liczbę kompletnych par, a nie wyłącznie wartość p;

– Korelacja wyników przed i po leczeniu nie zastępuje analizy zmiany, a osobne testy w dwóch grupach nie pozwalają stwierdzić, że jedna terapia była skuteczniejsza;

– Jeśli pacjent ma więcej niż dwa pomiary albo część danych jest niekompletna, proste testy sparowane mogą być niewystarczające i należy rozważyć analizę powtarzanych pomiarów lub modele mieszane.

Bibliografia:

1. Franc JM. Analysis of Paired Data. Prehosp Disaster Med. 2025;40(2):61-63. doi:10.1017/S1049023X25001517.
2. Bland JM, Altman DG. Correlation, regression, and repeated data. BMJ. 1994;308:896.
3. Rosner B, Glynn RJ, Lee MLT. The Wilcoxon signed rank test for paired comparisons of clustered data. Biometrics. 2006;62:185–192.
4. Mishra P, Pandey CM, Singh U, Keshri A, Sabaretnam M. Selection of appropriate statistical methods for data analysis. Ann Card Anaesth. 2019;22:297–301.
5. Vickers AJ, Altman DG. Analysing controlled trials with baseline and follow up measurements. BMJ. 2001;323:1123–1124.
6. Altman DG. Practical Statistics for Medical Research. London: Chapman & Hall; 1991.
7. Kirkwood BR, Sterne JAC. Essential Medical Statistics. 2nd ed. Oxford: Blackwell Science; 2003.